Probabilités à la roulette

Pourquoi l'avantage de la maison vaut 2,70 %

C'est le calcul le plus simple de tout le casino, et il tient en une ligne. Un plein paie 35 contre 1. Si la roue avait 36 cases, ce paiement serait exactement juste : vous gagneriez 35 unités une fois sur 36 et en perdriez une les 35 autres fois, soit un résultat nul à long terme.

La roue a 37 cases. Le paiement, lui, n'a pas changé. Vous gagnez donc 35 unités une fois sur 37 et perdez une unité 36 fois sur 37, ce qui laisse −1/37 par unité misée, soit −2,70 %. La case verte est l'intégralité de l'avantage de la maison : c'est une case pour laquelle personne n'est payé.

Et comme tous les paiements du tapis sont calculés sur 36 cases — un cheval paie 17 pour 2 cases, une douzaine 2 pour 12, le rouge 1 pour 18 —, l'avantage est rigoureusement identique sur toutes les mises. C'est ce que montre le tableau « toutes les mises du tapis, comparées », ligne après ligne.

Les trois roues, et pourquoi elles ne se valent pas

• Européenne, 37 cases. Un seul zéro, 2,70 % sur toutes les mises. C'est la roue standard en Europe.
• Française, 37 cases avec la partage. Même roue, mais quand le zéro sort, les mises à égalité ne perdent que la moitié. L'avantage tombe à 1,35 % sur ces mises — et sur elles seulement. Ce sont les meilleures mises disponibles dans un casino, toutes tables confondues. La règle « en prison », où la mise reste sur le tapis pour un tour de plus, a exactement la même espérance.
• Américaine, 38 cases. Un zéro et un double zéro. Les paiements sont inchangés, donc l'avantage double : 5,26 %. Et le tapis américain propose une mise particulière, « les cinq premiers » (0, 00, 1, 2, 3), payée 6 contre 1 alors qu'elle couvre 5 cases sur 38 : elle atteint 7,89 %. C'est la seule mise de toute la roulette dont il y a une raison arithmétique de se méfier plus que des autres.

Autrement dit : une même mise de rouge coûte 1,35 % sur une table française, 2,70 % sur une européenne et 5,26 % sur une américaine. C'est un facteur quatre entre la meilleure et la pire, pour un geste rigoureusement identique.

Le seul vrai choix : la variance

Si toutes les mises ont la même espérance, elles ne sont pas pour autant équivalentes. Ce qui les distingue est leur écart-type, que le tableau chiffre : environ 5,8 unités pour un plein contre 1,0 pour le rouge.

Concrètement : un joueur qui mise une unité sur le rouge cent fois de suite finira, dans la grande majorité des cas, entre une vingtaine d'unités de gain et une trentaine de perte. Le même joueur misant une unité en plein cent fois de suite peut finir cinquante unités devant ou soixante-dix derrière, et il connaîtra presque certainement une série de quarante tours sans rien toucher — la probabilité de ne rien gagner sur quarante pleins consécutifs dépasse une chance sur trois.

La variance ne change pas ce que la mise coûte en moyenne, mais elle change tout à ce qu'on ressent. C'est le seul paramètre sur lequel un joueur de roulette agit réellement, et le seul dont les tableaux ne parlent jamais.

Pourquoi aucune martingale ne peut fonctionner

L'argument est court, et il ne souffre pas d'exception. L'espérance d'un tour est de −2,70 % de la somme engagée. L'espérance d'une suite de tours est la somme des espérances de chaque tour, quelle que soit la règle qui détermine les montants — y compris une règle qui regarde les résultats précédents.

Une progression ne peut donc faire qu'une chose : modifier combien vous misez au total. Et comme chaque unité misée coûte 2,70 %, plus une progression fait miser, plus elle fait perdre. C'est exactement ce que montre le bloc « la réconciliation » du simulateur : la martingale mise deux à trois fois plus qu'une mise plate sur le même nombre de tours, et perd deux à trois fois plus.

Ce que la martingale change vraiment, c'est la forme du résultat. Elle transforme beaucoup de petits gains en une ruine rare mais totale. C'est ce qui la rend si convaincante à l'usage : neuf sessions sur dix se terminent par un petit bénéfice, et la dixième efface tout. Le simulateur affiche les deux chiffres côte à côte — « sessions gagnantes » et « sessions ruinées » — précisément pour qu'on ne puisse pas ne regarder que le premier.

Le maximum de table, souvent présenté comme l'astuce du casino pour casser la martingale, n'est même pas nécessaire : essayez le simulateur avec un maximum très élevé et un solde de départ limité. C'est le solde qui s'épuise le premier, toujours.

Le sophisme du joueur, en une phrase

Le rouge est sorti sept fois d'affilée ; le noir n'est pas « en retard ». La roue n'a aucune mémoire : la probabilité du noir au tour suivant est 18/37, identique à celle du premier tour. Les séries longues ne sont pas des anomalies à corriger, ce sont des événements attendus — sur mille tours, une série de dix mêmes couleurs est plus probable qu'improbable.

Cette erreur est le fondement psychologique de toutes les progressions, ce qui explique pourquoi cet outil n'affiche aucun historique de tours. Un tableau des derniers numéros, comme ceux qui trônent au-dessus des tables réelles, ne contient strictement aucune information sur le tour suivant. L'afficher serait suggérer le contraire.

Comment le calculateur travaille

Il n'y a ici aucune simulation et aucune approximation. Pour votre combinaison de mises, l'outil calcule le résultat net pour chacune des 37 ou 38 poches de la roue : chaque mise touchée rapporte son paiement, chaque mise manquée coûte sa mise, et la partage retire une demi-unité au lieu d'une sur les mises à égalité quand le zéro sort.

Comme les poches sont équiprobables, tout le reste se lit directement dans cette liste : l'espérance est la moyenne des résultats nets, la probabilité de gagner la proportion de poches au résultat positif, l'écart-type la dispersion autour de la moyenne, le meilleur et le pire cas les deux extrêmes. C'est aussi ce qui permet de gérer correctement des mises qui se recouvrent — un plein sur un numéro rouge et une mise sur le rouge, par exemple — là où un raisonnement mise par mise se tromperait.

Les mises disponibles sont, elles aussi, déduites et non listées : les numéros d'un tapis sont disposés en douze colonnes de trois, un numéro touche donc celui d'à côté et celui du dessus, ce qui fait retomber le compte sur les 60 chevaux, 22 carrés, 12 transversales et 11 sixains d'une roue européenne.

Ce que cet outil n'est pas

Ce n'est pas un jeu de roulette : il n'y a ni bille, ni solde, ni mise. Ce n'est pas un système : les six progressions proposées sont là pour être réfutées, pas recommandées. Et ce n'est pas une invitation à jouer — l'outil existe parce que la roulette est un excellent objet pour comprendre l'espérance mathématique, pas parce qu'elle serait un bon usage de son argent.

Si vous cherchez un jeu de casino où les décisions changent quelque chose, c'est le blackjack, et notre calculateur de stratégie de base le montre : là, jouer correctement fait passer l'avantage de la maison de 5 % à un demi pour cent. Si vous cherchez à jouer sans rien risquer, notre room de poker à jetons fictifs et nos jeux gratuits sont faits pour ça.

Questions fréquentes

Toutes les mises ont-elles vraiment le même avantage de la maison ?

Sur une roue à un seul zéro, oui : exactement 2,70 % pour le plein comme pour le rouge, en passant par le cheval, le carré, la douzaine et la colonne. Les paiements et les probabilités se compensent au centième près, et seule la case verte fait la différence. Sur une roue américaine, c'est 5,26 % pour tout — sauf « les cinq premiers », à 7,89 %, la seule mise réellement pire que les autres. La partage, sur une table française, divise par deux l'avantage sur les mises à égalité, et sur elles seulement.

Alors quelle mise choisir, si elles sont équivalentes ?

Elles sont équivalentes en espérance, pas en variance. Un plein a un écart-type d'environ 5,8 unités contre 1,0 pour le rouge : à espérance égale, il produit des sessions beaucoup plus violentes, avec de longues séries perdantes et des gains rares et gros. C'est le seul choix réel que la roulette laisse au joueur, et l'outil le chiffre pour chaque mise.

La martingale fonctionne-t-elle ?

Non, et le simulateur le montre plutôt que de l'affirmer. Doubler après chaque perte produit beaucoup de petits gains et une ruine rare mais totale, et surtout : plus une progression fait miser, plus elle fait perdre. La perte moyenne observée sur des milliers de sessions vaut toujours « total misé × avantage de la maison », quelle que soit la progression. Aucune suite de mises ne peut changer l'espérance d'un tour, donc aucune ne peut changer celle d'une session.

Le rouge est sorti sept fois de suite. Le noir est-il plus probable ?

Non. La roue n'a pas de mémoire : la probabilité du noir au tour suivant reste 18/37, exactement comme au premier tour. C'est le sophisme du joueur, et c'est l'erreur de raisonnement la plus coûteuse à la roulette parce qu'elle sert de justification à toutes les progressions.

Que veut dire « la partage » ?

Sur une table française, quand le zéro sort, les mises à égalité — rouge ou noir, pair ou impair, manque ou passe — ne perdent que la moitié au lieu de la totalité. L'avantage de la maison sur ces mises tombe de 2,70 % à 1,35 %, ce qui en fait les meilleures mises disponibles dans un casino. La règle « en prison », proposée par certaines tables, a exactement la même espérance.

L'outil peut-il prédire un numéro ?

Non, et rien ne peut le faire sur une roue en bon état : les tours sont indépendants et équiprobables. L'outil calcule des probabilités et des espérances, il ne devine rien. Il n'affiche d'ailleurs aucun historique de tours, parce qu'un historique n'apporte aucune information sur le tour suivant.

Peut-on miser de l'argent ici ?

Non. Il n'y a ni solde, ni dépôt, ni gain, ni lien vers un opérateur de jeu. Les « unités » sont des nombres sans dimension servant à comparer des espérances. Le simulateur de session est un outil de démonstration statistique, pas un jeu.